梯度下降法

梯度下降(Gradien Descent),严格来说不是一个机器学习算法,是一种基于搜索的最优方法,目的是最小化一个损失函数,找到最低点。

1.特征

  梯度下降法的基本思想可以类比为一个下山的过程。一个人在山上,想要下山,抵达山的最低点。他需要以他当前的所处的位置为基准,寻找这个位置最陡峭的地方,然后朝着山的高度下降的地方走,最后就能成功下山。
avatar
一维函数可以直接用导数,对于多维函数,要对每个方向的分量分别求导,最终得到的方向是梯度。
avatar

2.学习率

在前面人下山的举例中,如何描述人下山的速度呢,这里我们使用学习率η(learning rate)。

  • η的取值影响获得最优解的速度。
  • η取值不合适,得不到最优解。
  • η是梯度下降法中的一个超参数。

η太小:
avatar
η太大:
avatar

问题

并不是所有的函数都有唯一的极值点:
avatar
解决:
1.多次运行,随机化初始点
2.梯度下降法的初始点也是一个超参数
对于线性回归:
avatar
线性回归的损失函数具有唯一的最优解。

3.模拟实现

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
//定义损失函数
def J(theta)
return (theta-2.5)*2-1
//定义损失函数的导数
def dJ(theta):
return 2*(theta-2.5)

//梯度下降的过程
eta=0.1
epsilon=1e-8//很小的数字

theta=0.0
while True:
gedient=dJ(theta)
last_theta=theta
theta=theta=eta*gradient

if(abs(J(theta)-J(last_theta))<epsilon)
break
print(theta)
print(J(theta))
//输出:
2.99
-0.99

这样就完成了一个简单的梯度下降过程。

4.几种梯度下降方式

常用的梯度下降法还具体包含有三种不同的形式,它们也各自有着不同的优缺点。
下面我们以线性回归算法来对三种梯度下降法进行比较。
一般线性回归函数的假设函数为:
avatar
对应的能量函数(损失函数)形式为:
avatar
下图为一个二维参数(θ0和θ1)组对应能量函数的可视化图:
avatar

批量梯度下降法BGD

  批量梯度下降法(Batch Gradient Descent,简称BGD)是梯度下降法最原始的形式,它的具体思路是在更新每一参数时都使用所有的样本来进行更新,其数学形式如下:
(1) 对上述的能量函数求偏导:
avatar
(2) 由于是最小化风险函数,所以按照每个参数θ的梯度负方向来更新每个θ:
avatar
  从上面公式可以注意到,它得到的是一个全局最优解,但是每迭代一步,都要用到训练集所有的数据,如果样本数目m很大,那么可想而知这种方法的迭代速度!所以,这就引入了另外一种方法,随机梯度下降。
  优点:全局最优解;易于并行实现;
  缺点:当样本数目很多时,训练过程会很慢。
从迭代的次数上来看,BGD迭代的次数相对较少。其迭代的收敛曲线示意图可以表示如下:
avatar

随机梯度下降法SGD

  由于批量梯度下降法在更新每一个参数时,都需要所有的训练样本,所以训练过程会随着样本数量的加大而变得异常的缓慢。随机梯度下降法(Stochastic Gradient Descent,简称SGD)正是为了解决批量梯度下降法这一弊端而提出的。
  将上面的能量函数写为如下形式:
avatar
利用每个样本的损失函数对θ求偏导得到对应的梯度,来更新θ:
avatar
  随机梯度下降是通过每个样本来迭代更新一次,如果样本量很大的情况(例如几十万),那么可能只用其中几万条或者几千条的样本,就已经将theta迭代到最优解了,对比上面的批量梯度下降,迭代一次需要用到十几万训练样本,一次迭代不可能最优,如果迭代10次的话就需要遍历训练样本10次。但是,SGD伴随的一个问题是噪音较BGD要多,使得SGD并不是每次迭代都向着整体最优化方向。
  优点:训练速度快;
  缺点:准确度下降,并不是全局最优;不易于并行实现。
  从迭代的次数上来看,SGD迭代的次数较多,在解空间的搜索过程看起来很盲目。其迭代的收敛曲线示意图可以表示如下:
avatar

小批量梯度下降法MBGD

  有上述的两种梯度下降法可以看出,其各自均有优缺点,那么能不能在两种方法的性能之间取得一个折衷呢?即,算法的训练过程比较快,而且也要保证最终参数训练的准确率,而这正是小批量梯度下降法(Mini-batch Gradient Descent,简称MBGD)的初衷。
MBGD在每次更新参数时使用b个样本(b一般为10),其具体的伪代码形式为:
Say b=10, m=1000.

总结

批量梯度下降(Batch gradient descent): 使用所有样本训练;
随机梯度下降(Stochastic gradient descent): 使用一个样本训练;
小批量梯度下降(Mini-batch gradient descent): 使用b个样本训练。